1. Тип 13 № 3514. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

Обозначим высоту трапеции через \(h=CD\). Так как угол \(A=45°\), горизонтальная проекция боковой стороны \(AB\) равна высоте: расстояние от \(A\) до вертикали через \(B\) равно \(h\).

Диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам, поэтому \(\angle CAD=22.5°\). В прямоугольном треугольнике \(ACD\):

\(\tan 22.5°=\dfrac{CD}{AD}=\sqrt2-1\), значит \(AD=h(\sqrt2+1)\).

Следовательно, меньшее основание \(BC=AD-h=h\sqrt2\). Подставим его длину:

\(h\sqrt2=10\sqrt2\), откуда \(h=10\).

Горизонтальное расстояние между \(B\) и \(D\) равно \(BC=10\sqrt2\). По теореме Пифагора:

\(BD=\sqrt{(10\sqrt2)^2+10^2}=\sqrt{200+100}=10\sqrt3\).

Ответ: \(10\sqrt3\).