4. Тип 13 № 4375. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 10, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 5√3.

Обозначим высоту трапеции через \(h\). Диагональ \(BD\), высота и меньшее основание \(BC\) образуют прямоугольный треугольник, поэтому:

\(h^2+BC^2=BD^2\).

Подставим данные:

\(h^2+(5\sqrt3)^2=10^2\),

\(h^2+75=100\), откуда \(h^2=25\) и \(h=5\).

Поскольку \(\angle A=45°\), боковая сторона \(AB\) имеет равные горизонтальную и вертикальную составляющие, равные \(h\). Значит, \(AB=h\sqrt2=5\sqrt2\), а другая боковая сторона \(CD=h=5\). Большая боковая сторона — \(AB\).

Ответ: \(5\sqrt2\).