3. Тип 13 № 4185. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 7√2. Запишите решение и ответ.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Обозначим высоту трапеции через \(h=CD\). Так как угол \(A=45°\), горизонтальная проекция стороны \(AB\) равна \(h\).

Диагональ \(AC\) делит угол \(A\) пополам, значит \(\angle CAD=22.5°\). В прямоугольном треугольнике \(ACD\):

\(\tan 22.5°=\dfrac{CD}{AD}=\sqrt2-1\), откуда \(AD=h(\sqrt2+1)\).

Тогда меньшее основание \(BC=AD-h=h\sqrt2\). По условию \(h\sqrt2=7\sqrt2\), следовательно, \(h=7\).

Горизонтальное расстояние между \(B\) и \(D\) равно \(BC=7\sqrt2\). По теореме Пифагора:

\(BD=\sqrt{(7\sqrt2)^2+7^2}=\sqrt{98+49}=7\sqrt3\).

Ответ: \(7\sqrt3\).