2. Тип 13 № 3813. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 32, а угол A равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 8√15.

Обозначим высоту трапеции через \(h\). Так как \(\angle A=45°\), горизонтальная проекция боковой стороны \(AB\) равна высоте, поэтому \(AB=h\sqrt2\).

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(BD\) катеты — высота \(h\) и меньшее основание \(BC\). По теореме Пифагора:

\(h^2+BC^2=BD^2\).

Подставим данные:

\(h^2+(8\sqrt{15})^2=32^2\),

\(h^2+960=1024\), поэтому \(h^2=64\) и \(h=8\).

Боковые стороны: \(CD=h=8\), а \(AB=8\sqrt2\). Следовательно, большая боковая сторона — \(AB\).

Ответ: \(8\sqrt2\).