1. Тип 13 № 3839. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 6.

Обозначим длины сторон параллелограмма: \(AB=x\), \(AD=y\). Пусть \(\vec u\) и \(\vec v\) — единичные векторы вдоль \(AB\) и \(AD\).

Направление биссектрисы угла A задаётся вектором \(\vec u+\vec v\), а биссектрисы угла D — вектором \(\vec u-\vec v\). Их точка пересечения имеет вид \(M=\frac y2(\vec u+\vec v)\): приравнивая коэффициенты векторов \(\vec u\) и \(\vec v\) на двух биссектрисах, получаем множитель \(y/2\).

Так как \(M\) лежит на стороне \(BC\), её радиус-вектор можно записать как \(x\vec u+\lambda y\vec v\). Сравнение коэффициентов с выражением для M даёт \(y/2=x\), то есть \(AD=2AB=12\).

Периметр: \(P=2(AB+AD)=2(6+12)=36\).

Ответ: 36.