3. Тип 13 № 4090. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

Пусть \(AB=x=6\), \(AD=y\), а \(\vec u\) и \(\vec v\) — единичные векторы вдоль AB и AD. Так как угол A равен \(60°\), \(\vec u\cdot\vec v=\cos 60°=1/2\).

Биссектриса угла A направлена вдоль \(\vec u+\vec v\). Поскольку M лежит на этой биссектрисе и на BC, её радиус-вектор равен \(\overrightarrow{AM}=x(\vec u+\vec v)\). Поэтому \(\overrightarrow{DM}=x\vec u+(x-y)\vec v\).

Из условия перпендикулярности \(AM\perp DM\) следует:

\((\vec u+\vec v)\cdot[x\vec u+(x-y)\vec v]=0\).

Подставим \(\vec u\cdot\vec v=1/2\): \((2x-y)(1+1/2)=0\), откуда \(y=2x=12\).

Тогда \(P=2(AB+AD)=2(6+12)=36\).

Ответ: 36.