4. Тип 13 № 4109. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 10. Запишите решение и ответ.

Обозначим \(AB=x=10\), \(AD=y\). Пусть \(\vec u\) и \(\vec v\) — единичные векторы вдоль AB и AD. Тогда \(\vec u\cdot\vec v=\cos 60°=1/2\).

Биссектриса угла A имеет направление \(\vec u+\vec v\). Из того, что M лежит и на биссектрисе, и на BC, получаем \(\overrightarrow{AM}=x(\vec u+\vec v)\), а значит, \(\overrightarrow{DM}=x\vec u+(x-y)\vec v\).

Условие \(AM\perp DM\) даёт:

\((\vec u+\vec v)\cdot[x\vec u+(x-y)\vec v]=0\).

Подставляя \(\vec u\cdot\vec v=1/2\), получаем \((2x-y)(1+1/2)=0\), поэтому \(AD=y=2x=20\).

Периметр равен \(P=2(AB+AD)=2(10+20)=60\).

Ответ: 60.