1. Точка A — середина отрезка MK. Найдите координаты точки A и длину отрезка MK, если M (5; −2; 1), K (3; 4; −3). Найдите угол между прямыми AK и MP, если P (1; 1; 1).

Координаты середины отрезка находятся как полусуммы координат его концов:

\(A\left(\frac{5+3}{2};\frac{-2+4}{2};\frac{1+(-3)}{2}\right)=(4;1;-1)\).

Вектор \(\overrightarrow{MK}=(3-5;4-(-2);-3-1)=(-2;6;-4)\), поэтому

\(|MK|=\sqrt{(-2)^2+6^2+(-4)^2}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\).

Поскольку A — середина MK, прямая AK совпадает с прямой MK. Направляющий вектор прямой AK можно взять \(\vec u=(1;-3;2)\), а направляющий вектор MP равен \(\vec v=(1-5;1-(-2);1-1)=(-4;3;0)\).

\(\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u||\vec v|}=\frac{|{-4-9}|}{\sqrt{14}\cdot5}=\frac{13}{5\sqrt{14}}\).

Ответ: \(A(4;1;-1)\), \(|MK|=2\sqrt{14}\), угол между прямыми \(AK\) и \(MP\) равен \(\arccos\frac{13}{5\sqrt{14}}\) (примерно \(46.0^\circ\)).