1. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 2 : 5. а) Выразите вектор KM через векторы p = AB и q = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство KM = x · CB?

а) Обозначим A за начало отсчёта. Тогда B = p, D = q, C = p + q.

Так как AK = KB, точка K — середина AB, поэтому \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec p\).

Из CM : MD = 2 : 5 следует, что точка M делит CD в отношении 2 : 5 от C к D:

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\frac27\overrightarrow{CD}=(\vec p+\vec q)+\frac27(-\vec p)=\frac57\vec p+\vec q.\)

Следовательно, \(\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=\frac{3}{14}\vec p+\vec q.\)

б) В параллелограмме \(\overrightarrow{CB}=-\vec q\). Поэтому равенство \(\overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{CB}\) потребовало бы, чтобы \(\frac{3}{14}\vec p+\vec q=-x\vec q\). Векторы сторон невырожденного параллелограмма \(\vec p\) и \(\vec q\) неколлинеарны, а коэффициент при \(\vec p\) слева ненулевой. Равенство невозможно.

Ответ: а) \(\overrightarrow{KM}=\frac{3}{14}\vec p+\vec q\); б) нет.