3. Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: A (−6; 1), B (0; 5), C (6; −4), D (0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей O.

Найдём векторы смежных сторон: \(\overrightarrow{AB}=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6;-9)\), \(\overrightarrow{DC}=(6;4)\), \(\overrightarrow{AD}=(6;-9)\). Противоположные стороны попарно равны и параллельны, значит ABCD — параллелограмм.

Проверим перпендикулярность смежных сторон: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot6+4\cdot(-9)=36-36=0\). Следовательно, угол B прямой, а параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Диагонали прямоугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина AC:

\(O=\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right)=(0; -\frac32).\)

Ответ: ABCD — прямоугольник; \(O(0;-\frac32)\).