1. Точки E и F лежат на сторонах AD и BC соответственно параллелограмма ABCD, причём AE = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = AB и n = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство EF = x · CD?

а) Так как E — середина AD, то \(\overrightarrow{AE}=\frac12\vec n\). Кроме того, \(\overrightarrow{BC}=\vec n\), а из отношения BF : FC = 4 : 3 следует, что \(\overrightarrow{BF}=\frac47\vec n\).

Выразим вектор EF через путь E → A → B → F:

\(\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\frac12\vec n+\vec m+\frac47\vec n=\vec m+\frac1{14}\vec n.\)

б) В параллелограмме \(\overrightarrow{CD}=-\vec m\). Тогда равенство \(\overrightarrow{EF}=x\overrightarrow{CD}\) потребовало бы \(\vec m+\frac1{14}\vec n=-x\vec m\). Векторы \(\vec m\) и \(\vec n\) неколлинеарны, поэтому коэффициент при \(\vec n\) слева не может обратиться в нуль; равенство невозможно.

Ответ: а) \(\overrightarrow{EF}=\vec m+\frac1{14}\vec n\); б) нет.