3. Даны координаты вершин треугольника ABC: A (-6; 1), B (2; 4), C (2; -2). Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите высоту треугольника, проведённую из вершины А.

Решение:

Даны координаты вершин треугольника ABC: A (-6; 1), B (2; 4), C (2; -2).

1. Доказательство равнобедренности треугольника

Чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, найдем длины его сторон по формуле расстояния между двумя точками \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).

Длина стороны AB:

\( AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(2+6)^2 + 3^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \).

Длина стороны BC:

\( BC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6 \).

Длина стороны AC:

\( AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{(2+6)^2 + (-3)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \).

Так как \( AB = AC = \sqrt{73} \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC.

2. Нахождение высоты треугольника, проведённой из вершины А

Высота, проведённая из вершины A, является медианой, так как треугольник равнобедренный. Она будет перпендикулярна основанию BC.

Найдем координаты середины отрезка BC (точка D). Середина отрезка находится по формуле \( D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}) \).

\( x_D = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).

\( y_D = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).

Итак, координаты точки D — (2; 1).

Теперь найдем длину высоты AD, используя формулу расстояния между точками A (-6; 1) и D (2; 1).

\( AD = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(2+6)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8 \).

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = AC = \( \sqrt{73} \). Высота треугольника, проведённая из вершины А, равна 8.