1. Точки Е и F лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причём AE = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = AB и n = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении х выполняться равенство EF = x · CD?

Question

Вопрос:

Фото задания

1. Точки Е и F лежат на сторонах AD и ВС соответственно параллелограмма ABCD, причём AE = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = AB и n = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении х выполняться равенство EF = x · CD?

Accepted Answer

Решение:

Дано: ABCD — параллелограмм, E ∈ AD, F ∈ BC, AE = ED, BF : FC = 4 : 3.

а) Выражение вектора →EF через →m и →n

Вектор →EF можно представить как сумму векторов →EA и →AF.

Так как E — середина AD, то →AE = →ED = \( \frac{1}{2} \vec{AD} \). Следовательно, →EA = -\(\u\)2192AE = -\( \frac{1}{2} \vec{AD} \) = -\( \frac{1}{2} \vec{n} \).

Точка F делит сторону BC в отношении BF : FC = 4 : 3. Это означает, что BC = BF + FC. Если обозначить BF = 4k и FC = 3k, то BC = 7k. Значит, BF = \( \frac{4}{7} \vec{BC} \) и FC = \( \frac{3}{7} \vec{BC} \).

Так как ABCD — параллелограмм, то →BC = →AD = \( \vec{n} \).

Вектор →AF можно выразить как →AB + →BF. Мы знаем, что →AB = →m.

→BF = \( \frac{4}{7} \vec{BC} \) = \( \frac{4}{7} \vec{AD} \) = \( \frac{4}{7} \vec{n} \).

Таким образом, →AF = →AB + →BF = →m + \( \frac{4}{7} \vec{n} \).

Теперь найдём →EF:

→EF = →EA + →AF = -\( \frac{1}{2} \vec{n} \) + \( \vec{m} + \frac{4}{7} \vec{n} \) = \( \vec{m} + (\frac{4}{7} - \frac{1}{2}) \vec{n} \) = \( \vec{m} + (\frac{8-7}{14}) \vec{n} \) = \( \vec{m} + \frac{1}{14} \vec{n} \).

б) Проверка равенства →EF = x · →CD

В параллелограмме ABCD вектор →CD = -\(\u\)2192AB = -\(\u\)2192m.

Условие →EF = x · →CD принимает вид:

\( \vec{m} + \frac{1}{14} \vec{n} = x \cdot (-\vec{m}) \)

\( \vec{m} + \frac{1}{14} \vec{n} = -x \vec{m} \)

Перенесём все члены с →m в одну сторону:

\( (1+x) \vec{m} + \frac{1}{14} \vec{n} = \vec{0} \)

Это равенство может выполняться только в том случае, если коэффициенты при неколлинеарных векторах →m и →n равны нулю. Векторы →m = →AB и →n = →AD не коллинеарны, так как ABCD — параллелограмм.

Приравниваем коэффициенты к нулю:

→m: \( 1 + x = 0 \) ⇒ \( x = -1 \).

→n: \( \frac{1}{14} = 0 \).

Второе уравнение \( \frac{1}{14} = 0 \) не имеет решений. Следовательно, не существует такого значения \( x \), при котором выполнялось бы равенство →EF = x · →CD.

Ответ: а) →EF = →m + \( \frac{1}{14} \vec{n} \); б) Нет, не может.