1. Трапеция ABCD (AB ∥ CD) лежит в плоскости α, AB = 8 см. Вне плоскости α выбрали точку M и на отрезке AM отметили такую точку K, что AK : KM = 3 : 1 (рис. 5). Постройте точку F пересечения плоскости DKC с прямой MB и найдите длину отрезка KF.

Плоскости DKC и ABM пересекаются по прямой KF. Первая плоскость пересекает α по CD, вторая — по AB. Поскольку AB ∥ CD, линия пересечения плоскостей параллельна обеим этим прямым, значит, KF ∥ AB.

В треугольнике MAB получаем подобные треугольники MKF и MAB. Из AK : KM = 3 : 1 следует, что \(MK:MA=1:4\). Поэтому

\(\dfrac{KF}{AB}=\dfrac{MK}{MA}=\dfrac{1}{4},\qquad KF=8\cdot\dfrac{1}{4}=2\) см.

Для построения проведите через K прямую, параллельную AB; её пересечение с MB — точка F.

Ответ: KF = 2 см.