2. На отрезке AB, который не пересекает плоскость α, отметили точку C. Через точки A, B и C провели параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. 1) Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. 2) Найдите отрезок B₁C₁, если AC = 7 см, BC = 21 см, A₁C₁ = 12 см.

1) Точки A, B и C лежат на одной прямой. Параллельное проектирование на плоскость α переводит эту прямую в прямую, поэтому точки A₁, B₁ и C₁ также лежат на одной прямой.

2) Так как C находится на отрезке AB, то при параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков на этой прямой:

\(\dfrac{A_1C_1}{B_1C_1}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{7}{21}=\dfrac{1}{3}.\)

Следовательно, \(B_1C_1=3\cdot A_1C_1=3\cdot12=36\) см.

Ответ: 1) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой; 2) B₁C₁ = 36 см.