2. На ребре CC₁ призмы ABCA₁B₁C₁ отметили точку K так, что CK : KC₁ = 1 : 3. Постройте сечение призмы плоскостью, параллельной медиане BM треугольника ABC и проходящей через точки A и K. В каком отношении эта плоскость делит ребро BB₁?

Пусть P — точка пересечения секущей плоскости с ребром BB₁. Сечение — треугольник AKP.

Обозначим высоту бокового ребра через h и зададим аффинные координаты: \(A=(0,0,0)\), \(B=(1,0,0)\), \(C=(0,1,0)\), а боковые рёбра направлены по третьей координате. Тогда \(M=(0, frac12,0)\), поскольку M — середина AC, а из CK : KC₁ = 1 : 3 следует \(K=(0,1, \frac{h}{4})\).

Направляющий вектор BM равен \((-1, frac12,0)\). Точки плоскости, проходящей через A и K параллельно BM, имеют вид \(s(0,1, \frac{h}{4})+r(-1, frac12,0)\). Для точки P на BB₁ первые две координаты равны (1, 0). Отсюда \(-r=1\), \(s+ \frac{r}{2}=0\), значит, \(s= frac12\). Высота точки P над основанием составляет \( \frac{h}{8}\). Поэтому \(BP:PB_1= frac18: frac78=1:7\).

Построение: разделите ребро BB₁ в отношении BP : PB₁ = 1 : 7, обозначьте точку деления P и соедините A, K и P. Полученный треугольник AKP является сечением.

Ответ: плоскость делит ребро BB₁ в отношении BP : PB₁ = 1 : 7; сечение — треугольник AKP.