1. Три кузнечика играют на прямой в чехарду. Каждый раз один из них прыгает через другого (но не через двух сразу!). Могут ли они после 1991 прыжка оказаться на прежних местах?

При каждом прыжке один кузнечик перепрыгивает ровно через одного другого, поэтому порядок двух кузнечиков меняется местами. Это одна перестановка двух элементов, а значит, чётность перестановки меняется при каждом прыжке.

Чтобы все кузнечики вернулись на прежние места, порядок должен измениться чётное число раз. Число 1991 нечётное.

Ответ: нет, после 1991 прыжка они не могут оказаться на прежних местах.