4. Среди 35 монет одна фальшивая. Как с помощью чашечных весов определить, легче она или тяжелее настоящей? Сколько потребуется взвешиваний?

Обозначим для каждого взвешивания его результат одним из трёх знаков: левая чаша тяжелее, равновесие, правая чаша тяжелее. За четыре взвешивания возможны \(3^4=81\) последовательность результатов.

Для каждой монеты нужно различить два случая: она легче или тяжелее настоящей. Это 70 вариантов. При составлении плана взвешиваний ни один из этих вариантов не должен иметь последовательность, противоположную последовательности для другого варианта: такие результаты соответствовали бы одной и той же ситуации с перевёрнутой ролью тяжёлой и лёгкой монеты. Четырёх взвешиваний достаточно: можно распределить 35 монет по различным кодам из четырёх троичных знаков, выбирая код только из каждой пары противоположных кодов. Таких пар больше 35; расположение монет на чашах в каждом взвешивании задаётся соответствующим знаком.

По полученной последовательности результатов находят код монеты и по его знакам определяют, была ли она на чашах слева или справа; это показывает, легче она или тяжелее настоящей.

Трёх взвешиваний недостаточно: они дают только \(3^3=27\) последовательностей, а требуется различить 70 случаев.

Ответ: потребуется 4 взвешивания; их результаты позволяют определить и фальшивую монету, и то, легче она или тяжелее.