1. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 13. Найдите АС, если ВС = 24.

Решение:

Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы. Так как центр окружности лежит на стороне АВ, значит, АВ является гипотенузой, а треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом С.

Радиус окружности равен половине гипотенузы. По условию радиус равен 13, значит, гипотенуза АВ = 2 * 13 = 26.

В прямоугольном треугольнике АВС по теореме Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

\( AC^2 + 24^2 = 26^2 \)

\( AC^2 + 576 = 676 \)

\( AC^2 = 676 - 576 \)

\( AC^2 = 100 \)

\( AC = \sqrt{100} = 10 \)

Ответ: 10