4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Если один из острых углов равен 45°, то второй острый угол равен 90° - 45° = 45°.

Так как два острых угла равны, то треугольник является равнобедренным. Катеты, прилежащие к прямому углу, равны.

Пусть катеты равны \( a \).

По теореме Пифагора:

\( a^2 + a^2 = 10^2 \)

\( 2a^2 = 100 \)

\( a^2 = 50 \)

\( a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} a^2 \)

\( S = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25 \)

Ответ: 25