2. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 24 и ВС = 16. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

Окружность имеет центр в точке А и проходит через точку С. Следовательно, радиус окружности R = АС = 24.

Отрезок ВС расположен на прямой, проходящей через центр окружности А. Точка С лежит на окружности.

Касательная к окружности, проведенная из точки В, будет перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Обозначим точку касания как Т.

В прямоугольном треугольнике АТВ (угол АТВ = 90°):

\( AB = AC + CB = 24 + 16 = 40 \)

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

\( 40^2 = 24^2 + BT^2 \)

\( 1600 = 576 + BT^2 \)

\( BT^2 = 1600 - 576 \)

\( BT^2 = 1024 \)

\( BT = \sqrt{1024} = 32 \)

Ответ: 32