1. UAC = 150°, UCB = 140°, O – центр окружности (рис. 1). Тогда: a) UAB = 70°; ∠α = 70°; ∠β = 35°; б) UAB = 35°; ∠α = 35°; ∠β = 70°; в) UAB = 70°; ∠α = 35°; ∠β = 70°; г) UAB = 10°; ∠α = 20°; ∠β = 10°.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Дуга AC = 150°.
• Дуга CB = 140°.

Найти: Углы α и β для вариантов а), б), в), г).

Решение:

1. Угол α: Угол α является центральным углом, опирающимся на дугу AB. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.
2. Угол β: Угол β является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
3. Дуга AB: Полная окружность составляет 360°. Следовательно, дуга AB = 360° - дуга AC - дуга CB = 360° - 150° - 140° = 70°.
4. Проверка вариантов:
• а) UAB = 70°; ∠α = 70°; ∠β = 35°
  - ∠α = дуга AB = 70° (верно).
  - ∠β = дуга AC / 2 = 150° / 2 = 75° (неверно, так как ∠β = 35°).
• б) UAB = 35°; ∠α = 35°; ∠β = 70°
  - ∠α = дуга AB = 70° (неверно, так как UAB = 35° и ∠α = 35°).
• в) UAB = 70°; ∠α = 35°; ∠β = 70°
  - ∠α = дуга AB = 70° (неверно, так как ∠α = 35°).
• г) UAB = 10°; ∠α = 20°; ∠β = 10°
  - ∠α = дуга AB = 70° (неверно, так как ∠α = 20°).

Примечание: В задании, похоже, допущена ошибка, так как ни один из предложенных вариантов не соответствует условиям задачи. Если предположить, что ∠α и ∠β относятся к разным углам или дугам, то решение будет иным. Однако, исходя из рисунка, α — центральный угол на дугу AB, а β — вписанный угол на дугу AC.

Если бы задача была сформулирована иначе, например:

• Если α – центральный угол на дугу AB, а β – вписанный угол на дугу CB:
  - ∠α = дуга AB = 70°.
  - ∠β = дуга CB / 2 = 140° / 2 = 70°.

Основываясь на рисунке 1, где α опирается на дугу AB, а β опирается на дугу AC, верный расчет следующий:

• Дуга AB = 360° - 150° - 140° = 70°.
• Центральный угол α = дуга AB = 70°.
• Вписанный угол β = дуга AC / 2 = 150° / 2 = 75°.

В предложенных вариантах ответов нет верного.