2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠BAC = 70° (рис. 2). Найдите угол ОВС.

Краткая запись:

• AB и AC — касательные к окружности
• B и C — точки касания
• ∠BAC = 70°
• Найти: ∠OBC

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Свойства касательных. Так как AB и AC — касательные, проведенные из одной точки А, то отрезки касательных равны: AB = AC.
2. Шаг 2: Треугольник ABC. Так как AB = AC, то треугольник ABC — равнобедренный. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поэтому углы при основании равны: ∠ABC = ∠ACB = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°.
3. Шаг 3: Свойства радиуса и касательной. Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, ∠ABO = 90° и ∠ACO = 90°.
4. Шаг 4: Четырехугольник ABOC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. ∠BOC = 360° - ∠BAC - ∠ABO - ∠ACO = 360° - 70° - 90° - 90° = 360° - 250° = 110°.
5. Шаг 5: Треугольник OBC. OB и OC — радиусы окружности, поэтому OB = OC. Треугольник OBC — равнобедренный. Сумма углов в треугольнике OBC равна 180°. ∠OBC = ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2 = (180° - 110°) / 2 = 70° / 2 = 35°.

Ответ: 35°