1. Упростить: а) $\sqrt{(5-\sqrt{23})^2}+\sqrt{(4-\sqrt{23})^2}$; б) $\dfrac{\sqrt{(3-2\sqrt3)^2}+\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}}{\sqrt{\sqrt3-1}:\sqrt{\sqrt3+1}}$; в) $\sqrt{36-10\sqrt{11}}$; г) $\sqrt{70+30\sqrt5}$; д) $\sqrt{8-2\sqrt7}-\sqrt7$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Упростить: а) $\sqrt{(5-\sqrt{23})^2}+\sqrt{(4-\sqrt{23})^2}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем правило $\sqrt{x^2}=|x|$.

Так как $5-\sqrt{23}<0$ и $4-\sqrt{23}<0$, получаем:
$\sqrt{(5-\sqrt{23})^2}+\sqrt{(4-\sqrt{23})^2}=\sqrt{23}-5+\sqrt{23}-4=2\sqrt{23}-9$.
$3-2\sqrt3<0$, а $4-2\sqrt3>0$, поэтому числитель равен:
$\sqrt{(3-2\sqrt3)^2}+\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}=2\sqrt3-3+4-2\sqrt3=1$.
Знаменатель:
$\sqrt{\sqrt3-1}:\sqrt{\sqrt3+1}=\sqrt{\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}}=\sqrt{2-\sqrt3}$.
Следовательно, $\dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt3}}=\sqrt{2+\sqrt3}$.
$36-10\sqrt{11}=25+11-2\sqrt{25\cdot11}=(5-\sqrt{11})^2$.
Так как $5>\sqrt{11}$, то $\sqrt{36-10\sqrt{11}}=5-\sqrt{11}$.
$70+30\sqrt5=45+25+2\sqrt{45\cdot25}=(3\sqrt5+5)^2$.
Значит, $\sqrt{70+30\sqrt5}=3\sqrt5+5$.
$8-2\sqrt7=(\sqrt7-1)^2$. Поэтому
$\sqrt{8-2\sqrt7}-\sqrt7=|\sqrt7-1|-\sqrt7=\sqrt7-1-\sqrt7=-1$.

Ответ: а) $2\sqrt{23}-9$; б) $\sqrt{2+\sqrt3}$; в) $5-\sqrt{11}$; г) $5+3\sqrt5$; д) $-1$.

1. Упростить: а) \(\sqrt{(5-\sqrt{23})^2}+\sqrt{(4-\sqrt{23})^2}\); б) \(\dfrac{\sqrt{(3-2\sqrt3)^2}+\sqrt{(4-2\sqrt3)^2}}{\sqrt{\sqrt3-1}:\sqrt{\sqrt3+1}}\); в) \(\sqrt{36-10\sqrt{11}}\); г) \(\sqrt{70+30\sqrt5}\); д) \(\sqrt{8-2\sqrt7}-\sqrt7\).