4. Найти сумму: \(\dfrac1{\sqrt3+1}+\dfrac1{\sqrt5+\sqrt3}+\dfrac1{\sqrt7+\sqrt5}+\ldots+\dfrac1{\sqrt{21}+\sqrt{19}}\).

Рационализуем каждый знаменатель:

\(\dfrac1{\sqrt{n+2}+\sqrt n}=\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt n}{(n+2)-n}=\dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt n}{2}\).

Поэтому сумма принимает вид:

\(\dfrac{\sqrt3-1}{2}+\dfrac{\sqrt5-\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{2}+\ldots+\dfrac{\sqrt{21}-\sqrt{19}}{2}\).

Промежуточные слагаемые сокращаются:

\(S=\dfrac{\sqrt{21}-1}{2}\).

Ответ: \(\dfrac{\sqrt{21}-1}{2}\).