1. Упростите выражение: 1) cos^4 a - 1 1 - sin^4 a - tg 3a ctg 3a ; 3) sin3a + sin7a cos 3a - cos 7a 2) cos(\frac{\pi}{2} + a) - sin(π-a); 4) sin 16 a 2sin 8a

Пошаговое решение:

1. 1)
• Используем формулу \(\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)\) и \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\).
• \(\cos^4 a - 1 = -\sin^2 a (\sin^2 a - \cos^2 a) = -\sin^2 a (-\cos(2a)) = \sin^2 a \cos(2a)\)
• \(1 - \sin^4 a = (1 - \sin^2 a)(1 + \sin^2 a) = \cos^2 a (1 + \sin^2 a)\)
• \(\frac{\sin^2 a \cos(2a)}{\cos^2 a (1 + \sin^2 a)} - \text{ctg}(3a) \cdot \text{tg}(3a) = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \frac{\cos(2a)}{1 + \sin^2 a} - 1 = \text{tg}^2 a \frac{\cos(2a)}{1 + \sin^2 a} - 1\)
• 3)
• Используем формулы суммы синусов и косинусов: \(\sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2}\) и \(\cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}\).
• \(\frac{2 \sin 5a \cos(-2a)}{-2 \sin 5a \sin(-2a)} = \frac{\cos 2a}{-\sin(-2a)} = \frac{\cos 2a}{\sin 2a} = \text{ctg}(2a)\).
• 2)
• \(\cos(\frac{\pi}{2} + a) = -\sin a\)
• \(\sin(\pi - a) = \sin a\)
• \(-\sin a - \sin a = -2\sin a\)
• 4)
• Используем формулу двойного угла \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\).
• \(\sin 16a = 2 \sin 8a \cos 8a\)
• \(\frac{2 \sin 8a \cos 8a}{2 \sin 8a} = \cos 8a\)