2. Дано: cos a = 4/5, sin β = -5/13, 0<a<π/2, π<β<3π/2 . Найдите sin a - β.

Краткое пояснение:

Чтобы найти \(\sin(a - \beta)\), нам нужно знать значения \(\sin a\), \(\cos a\), \(\sin \beta\) и \(\cos \beta\). Мы уже знаем \(\cos a\) и \(\sin \beta\), поэтому нам нужно найти \(\sin a\) и \(\cos \beta\), используя основное тригонометрическое тождество и информацию о квадрантах.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим \(\sin a\).
   Поскольку \(0 < a < \frac{\pi}{2}\), \(\sin a\) будет положительным.
   Используем тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)
   \(\sin^2 a + (\frac{4}{5})^2 = 1\)
   \(\sin^2 a + \frac{16}{25} = 1\)
   \(\sin^2 a = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\)
   \(\sin a = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\) (так как \(a\) в первой четверти).
2. Шаг 2: Находим \(\cos \beta\).
   Поскольку \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\), \(\cos \beta\) будет отрицательным.
   Используем тождество: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\)
   \((-\frac{5}{13})^2 + \cos^2 \beta = 1\)
   \(\frac{25}{169} + \cos^2 \beta = 1\)
   \(\cos^2 \beta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\)
   \(\cos \beta = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}\) (так как \(\beta\) в третьей четверти).
3. Шаг 3: Применяем формулу синуса разности углов.
   \(\sin(a - \beta) = \sin a \cos \beta - \cos a \sin \beta\)
   Подставляем найденные значения:
   \(\sin(a - \beta) = (\frac{3}{5})(-\frac{12}{13}) - (\frac{4}{5})(-\frac{5}{13})\)
   \(\sin(a - \beta) = -\frac{36}{65} - (-\frac{20}{65})\)
   \(\sin(a - \beta) = -\frac{36}{65} + \frac{20}{65}\)
   \(\sin(a - \beta) = -\frac{16}{65}\)

Ответ: \(-\frac{16}{65}\)