4. Решите уравнение: 1) 3 sin²x+6,5 cosx-4=0; 2) 4 cos²x+5sin 2x-10sin²x=2;

Пошаговое решение:

1. Уравнение 1: \(3 \sin^2 x + 6.5 \cos x - 4 = 0\)
   Используем тождество \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
   \(3(1 - \cos^2 x) + 6.5 \cos x - 4 = 0\)
   \(3 - 3\cos^2 x + 6.5 \cos x - 4 = 0\)
   \(-3\cos^2 x + 6.5 \cos x - 1 = 0\)
   Умножим на -1:
   \(3\cos^2 x - 6.5 \cos x + 1 = 0\)
   Введем замену \(y = \cos x\), где \(-1 ≤ y ≤ 1\):
   \(3y^2 - 6.5y + 1 = 0\)
   Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
   \(D = (-6.5)^2 - 4(3)(1) = 42.25 - 12 = 30.25\)
   \(\sqrt{D} = \sqrt{30.25} = 5.5\)
   Найдем корни \(y\):
   \(y_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{6.5 + 5.5}{2(3)} = rac{12}{6} = 2\)
   \(y_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{6.5 - 5.5}{2(3)} = rac{1}{6}\)
   Поскольку \(y = \cos x\), и \(-1 ≤  y  ≤ 1\), корень \(y_1 = 2\) не подходит.
   Рассмотрим \(y_2 = \frac{1}{6}\):
   \(\cos x = \frac{1}{6}\)
   Общее решение: \(x = \pm \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
2. Уравнение 2: \(4 \cos^2 x + 5 \sin 2x - 10 \sin^2 x = 2\)
   Используем тождества \(\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}\), \(\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}\) и \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\) (или преобразуем к \(\cos 2x\)).
   Заменим \(2 = 2( \sin^2 x + \cos^2 x)\) или воспользуемся тождеством \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\).
   \(4\cos^2 x + 5(2 \sin x \cos x) - 10 \sin^2 x = 2\)
   \(4\cos^2 x + 10 \sin x \cos x - 10 \sin^2 x = 2\)
   Разделим обе части на \(\cos^2 x\) (предполагая \(\cos x
   e 0\)):
   \(4 + 10 \text{tg} x - 10 \text{tg}^2 x = 2 \sec^2 x\)
   Используем \(\sec^2 x = 1 + \text{tg}^2 x\):
   \(4 + 10 \text{tg} x - 10 \text{tg}^2 x = 2(1 + \text{tg}^2 x)\)
   \(4 + 10 \text{tg} x - 10 \text{tg}^2 x = 2 + 2 \text{tg}^2 x\)
   \(0 = 12 \text{tg}^2 x - 10 \text{tg} x - 2\)
   Разделим на 2:
   \(6 \text{tg}^2 x - 5 \text{tg} x - 1 = 0\)
   Пусть \(z = \text{tg} x\):
   \(6z^2 - 5z - 1 = 0\)
   Найдем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
   \(D = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25 + 24 = 49\)
   \(\sqrt{D} = 7\)
   Найдем корни \(z\):
   \(z_1 = rac{-b + \sqrt{D}}{2a} = rac{5 + 7}{2(6)} = rac{12}{12} = 1\)
   \(z_2 = rac{-b - \sqrt{D}}{2a} = rac{5 - 7}{2(6)} = rac{-2}{12} = -rac{1}{6}\)
   Теперь находим \(x\):
   \(\text{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
   \(\text{tg} x = -\frac{1}{6} \Rightarrow x = \text{arctg}(-\frac{1}{6}) + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
   Нужно проверить случай \(\cos x = 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\). Тогда \(\sin^2 x = 1\). Подставим в исходное уравнение:
   \(4(0)^2 + 5 \sin(2(\frac{\pi}{2} + \pi m)) - 10(1)^2 = 2\)
   \(0 + 5 \sin(\pi + 2\pi m) - 10 = 2\)
   \(5 \sin(\pi) - 10 = 2\)
   \(5(0) - 10 = 2\)
   \(-10 = 2\) - неверно. Значит, \(\cos x
   e 0\).

Ответ:

• Для первого уравнения: \(x = \pm \arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
• Для второго уравнения: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k\) и \(x = \text{arctg}(-\frac{1}{6}) + \pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).