1. Упростите выражения: а) cos α sin 5α − sin α cos 5α; б) sin 3x cos 2x + sin 2x cos 3x; в) sin (α + β) − cos α sin β; г) cos (α − β) − sin α sin β; д) sin α cos β − sin (α − β); е) cos α cos β − cos (α + β); ж) (cos α + sin α)/√2; з) (cos α − √3 sin α)/2.

Используем формулы синуса суммы и разности и косинуса суммы и разности.

1. а) По формуле разности синусов: cos α sin 5α − sin α cos 5α = sin(5α − α) = sin 4α.
2. б) По формуле синуса суммы: sin 3x cos 2x + sin 2x cos 3x = sin(3x + 2x) = sin 5x.
3. в) Раскрываем синус суммы: sin(α + β) − cos α sin β = sin α cos β + cos α sin β − cos α sin β = sin α cos β.
4. г) Раскрываем косинус разности: cos(α − β) − sin α sin β = cos α cos β + sin α sin β − sin α sin β = cos α cos β.
5. д) Раскрываем синус разности: sin α cos β − sin(α − β) = sin α cos β − (sin α cos β − cos α sin β) = cos α sin β.
6. е) Раскрываем косинус суммы: cos α cos β − cos(α + β) = cos α cos β − (cos α cos β − sin α sin β) = sin α sin β.
7. ж) Так как cos(α − π/4) = (cos α + sin α)/√2, получаем cos(α − π/4).
8. з) Так как cos(α + π/3) = (cos α − √3 sin α)/2, получаем cos(α + π/3).