2. Вычислите: а) sin 20° cos 40° + sin 40° cos 20°; б) (√3/2) cos 15° − (1/2) sin 15°; в) sin (π/6) cos (π/2) + sin (π/2) cos (π/6); г) (√3/2) cos 75° + (1/2) sin 75°; д) sin (π/4 + α), если ctg α = 7/24, π < α < 3π/2; е) sin (α − π/4), если tg α = −5/12, 3π/2 < α < 2π; ж) cos (π/3 − α), если sin α = −0,6, π < α < 3π/2; з) tg (α − π/4), если sin α = 7/25, 0 < α < π/2.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) По формуле синуса суммы: sin 20° cos 40° + sin 40° cos 20° = sin 60° = √3/2.
б) Выражение равно cos(15° + 30°) = cos 45° = √2/2.
в) По формуле синуса суммы получаем sin(π/6 + π/2) = sin(2π/3) = √3/2.
г) Выражение равно cos(75° − 30°) = cos 45° = √2/2.
д) Из ctg α = 7/24 и третьей четверти: sin α = −24/25, cos α = −7/25. Тогда sin(π/4 + α) = (sin α + cos α)/√2 = (−24/25 − 7/25)/√2 = −31√2/50.
е) Из tg α = −5/12 и четвёртой четверти: sin α = −5/13, cos α = 12/13. Тогда sin(α − π/4) = (sin α − cos α)/√2 = (−5/13 − 12/13)/√2 = −17√2/26.
ж) В третьей четверти cos α = −√(1 − sin² α) = −4/5. Поэтому cos(π/3 − α) = (1/2)cos α + (√3/2)sin α = −2/5 − 3√3/10 = −(4 + 3√3)/10.
з) В первой четверти cos α = 24/25, поэтому tg α = 7/24. Тогда tg(α − π/4) = (tg α − 1)/(1 + tg α) = (7 − 24)/(24 + 7) = −17/31.

Ответ: