3. Вычислите, не пользуясь таблицами значений тригонометрических функций: а) sin 105°; б) cos 105°; в) sin 15°; г) cos 15°; д) sin 15° − tg 30° cos 15°; е) sin (α − β), если cos α = 5/13, sin β = −0,6, 0 < α < π/2, π < β < 3π/2.

Применяем формулы сложения и табличные значения для углов 30°, 45° и 60°.

1. а) sin 105° = sin(60° + 45°) = (√6 + √2)/4.
2. б) cos 105° = cos(60° + 45°) = (√2 − √6)/4.
3. в) sin 15° = sin(45° − 30°) = (√6 − √2)/4.
4. г) cos 15° = cos(45° − 30°) = (√6 + √2)/4.
5. д) Подставляем найденные значения и tg 30° = 1/√3: sin 15° − tg 30° cos 15° = (√6 − √2)/4 − (√6 + √2)/(4√3) = (√6 − √2)/4 − (√2 + √6/3)/4 = (2√6 − 4√2)/12.
6. е) Так как α в первой четверти, sin α = 12/13. Так как β в третьей четверти и sin β = −3/5, cos β = −4/5. Тогда sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β = (12/13)(−4/5) − (5/13)(−3/5) = (−48 + 15)/65 = −33/65.