1 уровень. 2. Точки M и N — середины противоположных сторон BC и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник AMCN — параллелограмм.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Они делятся пополам, поэтому O — середина AC и BD.

Рассмотрим треугольник BCD. Точки M и O — середины его сторон BC и BD, поэтому по теореме о средней линии MO ∥ CD и MO = CD/2. Так как CD = AB, а AB ∥ CD, получаем MO ∥ AB и MO = AB/2.

Рассмотрим треугольник ABD. Точки O и N — середины сторон BD и AD, поэтому ON ∥ AB и ON = AB/2. Следовательно, MO и ON лежат на одной прямой, а O — середина MN.

Итак, диагонали AC и MN четырёхугольника AMCN пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то он является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.