2 уровень. 2. Точки K, L, M, N — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD. Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK — параллелограмм.

Обозначим последовательно вершины искомого четырёхугольника: P = AL ∩ BM, Q = BM ∩ CN, R = CN ∩ DK, S = DK ∩ AL.

Введём координаты параллелограмма: A = (0, 0), B = (2, 0), D = (0, 2), тогда C = (2, 2). Тогда середины сторон: K = (1, 0), L = (2, 1), M = (1, 2), N = (0, 1).

Находим уравнения четырёх прямых: AL: y = x/2; BM: y = −2x + 4; CN: y = x/2 + 1; DK: y = −2x + 2.

Из пересечений получаем P = (8/5, 4/5), Q = (6/5, 8/5), R = (2/5, 6/5), S = (4/5, 2/5).

Середина диагонали PR имеет координаты ((8/5 + 2/5)/2, (4/5 + 6/5)/2) = (1, 1). Середина диагонали QS также равна ((6/5 + 4/5)/2, (8/5 + 2/5)/2) = (1, 1).

Значит, диагонали PR и QS четырёхугольника PQRS делятся пополам и имеют общую середину. Следовательно, PQRS — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.