1. В четырехугольнике ABCD AB = CD и BC = AD, ∠A = 30°. На стороне BC взята точка E так, что ∠CDE = 60°. Докажите, что четырехугольник ABED является прямоугольной трапецией.

Из равенств AB = CD и BC = AD следует, что в четырехугольнике ABCD обе пары противоположных сторон попарно равны. Значит, ABCD — параллелограмм: AB ∥ CD и AD ∥ BC.

Так как E лежит на BC, то BE ∥ AD. Следовательно, ABED — трапеция с основаниями BE и AD.

Поскольку CD ∥ AB и ∠CDE = 60°, угол между AB и DE равен 60°. Угол между AB и AD равен ∠A = 30°. По рисунку лучи AB и DE находятся по одну сторону от AD, поэтому угол между AD и DE равен 60° + 30° = 90°. Значит, DE ⟂ AD, а ввиду BE ∥ AD также DE ⟂ BE.

Ответ: ABED — прямоугольная трапеция.