1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой CD₁ и плоскостью ADB₁.

Введём координаты вершин куба со стороной a: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), B₁(a,0,a), D₁(0,a,a).

Направляющий вектор прямой CD₁: \(\overrightarrow{CD_1}=(-a,0,a)\). В плоскости ADB₁ лежат векторы \(\overrightarrow{AD}=(0,a,0)\) и \(\overrightarrow{AB_1}=(a,0,a)\). Их векторное произведение — нормаль к плоскости: \(\overrightarrow{AD}\times\overrightarrow{AB_1}=(a^2,0,-a^2)\).

Направляющий вектор CD₁ параллелен нормали к плоскости ADB₁. Значит, прямая перпендикулярна этой плоскости.

Ответ: 90°.