2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой AB и плоскостью BCD₁.

Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D₁(0,a,a). Направляющий вектор прямой AB: \(\vec v=(a,0,0)\).

В плоскости BCD₁ лежат векторы \(\overrightarrow{BC}=(0,a,0)\) и \(\overrightarrow{BD_1}=(-a,a,a)\). Нормаль к плоскости: \(\vec n=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD_1}=(a^2,0,a^2)\).

Угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью связан с углом между направляющим вектором прямой и нормалью формулой \(\sin\varphi=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}\). Поэтому \(\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt2}\), откуда \(\varphi=45^\circ\).

Ответ: 45°.