3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой AB и плоскостью BB₁D₁.

Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), B₁(a,0,a), D₁(0,a,a). Направляющий вектор прямой AB: \(\vec v=(a,0,0)\).

В плоскости BB₁D₁ лежат векторы \(\overrightarrow{BB_1}=(0,0,a)\) и \(\overrightarrow{BD_1}=(-a,a,a)\). Нормаль к плоскости: \(\vec n=\overrightarrow{BB_1}\times\overrightarrow{BD_1}=(-a^2,-a^2,0)\).

Для угла \(\varphi\) между прямой и плоскостью \(\sin\varphi=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}=\frac{1}{\sqrt2}\). Следовательно, \(\varphi=45^\circ\).

Ответ: 45°.