4. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой AB и плоскостью BDD₁.

Зададим координаты: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), D₁(0,a,a). Направляющий вектор прямой AB: \(\vec v=(a,0,0)\).

В плоскости BDD₁ лежат векторы \(\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)\) и \(\overrightarrow{DD_1}=(0,0,a)\). Нормаль к плоскости: \(\vec n=\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{DD_1}=(a^2,a^2,0)\).

Угол \(\varphi\) между прямой и плоскостью удовлетворяет равенству \(\sin\varphi=\frac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}=\frac{1}{\sqrt2}\). Значит, \(\varphi=45^\circ\).

Ответ: 45°.