1. В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AB и BC отметили точки K и M соответственно так, что BM = MC и ∠MKA = ∠CAB. Известно, что AC = 16. Чему равна длина отрезка KM?

Обозначим \(\angle CAB=\alpha\). Так как \(BM=MC\), точка \(M\) — середина \(BC\).

1. Проведём высоту из \(M\) к прямой \(AB\). Её длина вдвое меньше высоты из \(C\), то есть равна \(\frac{AC\sin\alpha}{2}\).
2. Угол между лучами \(KM\) и \(KA\) равен \(\alpha\). Поэтому высота из \(M\) к прямой \(AB\) равна \(KM\sin\alpha\).
3. Приравняем выражения: \(KM\sin\alpha=\frac{AC\sin\alpha}{2}\). Так как \(\sin\alpha\ne0\), получаем \(KM=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\).

Ответ: 8.