3. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отметили соответственно точки E и F так, что BE : EA = 1 : 3, BF : FC = 1 : 3. Докажите, что EF и AC параллельны, найдите, чему равен отрезок EF, если известно, что AC = 19.

1. Из отношения \(BE:EA=1:3\) следует, что \(BA=BE+EA=4BE\), поэтому \(\frac{BE}{BA}=\frac14\).

2. Аналогично, \(BC=BF+FC=4BF\), значит, \(\frac{BF}{BC}=\frac14\).

3. Точки \(E\) и \(F\) делят стороны \(BA\) и \(BC\) в одинаковом отношении. По обратной теореме Фалеса \(EF\parallel AC\). По подобию треугольников \(BEF\) и \(BAC\): \(\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac14\).

4. \(EF=\frac{19}{4}=4{,}75\).

Ответ: \(EF\parallel AC\), \(EF=4{,}75\).