4. В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D так, что BD = AC. Пусть точка M — середина стороны BC. Чему равен угол BNM, где N — середина AD, если угол BAC равен 70°?

Обозначим \(AC=b\), \(AB=c\). Выберем координаты: \(A=(0,0)\), \(B=(c,0)\), \(C=(b\cos70^\circ,b\sin70^\circ)\). Так как \(BD=AC=b\), имеем \(D=(c-b,0)\).

Поскольку \(N\) — середина \(AD\), а \(M\) — середина \(BC\), получаем \(N=(c-\frac b2,0)\) и \(M=(\frac{c+b\cos70^\circ}{2},\frac{b\sin70^\circ}{2})\).

Луч \(NB\) направлен горизонтально вправо. Для вектора \(\overrightarrow{NM}\) горизонтальная и вертикальная составляющие равны соответственно \(\frac{b(1+\cos70^\circ)}2\) и \(\frac{b\sin70^\circ}2\). Поэтому, если \(\varphi=\angle BNM\), то \(\tan\varphi=\frac{\sin70^\circ}{1+\cos70^\circ}=\tan35^\circ\). Следовательно, \(\varphi=35^\circ\).

Ответ: \(35^\circ\).