1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(BM=\frac{BD}{2}\) и \(CM=\frac{AC}{2}\). Угол \(BMC\) равен углу между диагоналями.

Площадь треугольника \(BMC\): \(S_{BMC}=\frac12\cdot BM\cdot CM\cdot\sin\angle BMC=\frac12\cdot\frac{BD}{2}\cdot\frac{AC}{2}\sin\angle BMC=\frac18 AC\cdot BD\sin\angle BMC\).

Площадь параллелограмма равна сумме площадей четырёх треугольников, на которые его диагонали разбивают параллелограмм. Эти треугольники имеют равные площади, поэтому \(S_{ABCD}=4S_{BMC}\).

Ответ: \(S_{ABCD}=4S_{BMC}\).