3. Дан правильный восьмиугольник. Докажите, что если его вершины последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Пусть вершины правильного восьмиугольника имеют номера \(1,2,\ldots,8\). Соединим последовательно вершины через одну: \(1\to3\to5\to7\to1\).

Центральный угол правильного восьмиугольника равен \(360^\circ:8=45^\circ\). Между соседними соединяемыми вершинами проходит две такие дуги, поэтому центральный угол каждой стороны получившегося четырёхугольника равен \(90^\circ\). Все четыре стороны являются хордами, стягивающими равные дуги, следовательно, они равны.

Таким образом, получившийся четырёхугольник имеет четыре равные стороны и прямые углы, то есть является квадратом.

Ответ: получается квадрат.