2. В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.

Так как \(A,C,O,H\) лежат на одной окружности, то равные хорды, стягивающие равные вписанные углы, дают \(AH=CH\), поскольку \(\angle AOH=\angle ACH\) и \(\angle COH=\angle CAH\). Следовательно, точка \(H\) равноудалена от \(A\) и \(C\), а значит, лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\).

Но в треугольнике \(ABC\) высота из вершины \(B\) проходит через \(H\) и перпендикулярна \(AC\). Поэтому высота \(BH\) является серединным перпендикуляром к \(AC\), откуда \(AB=BC\). Треугольник равнобедренный, и \(\angle A=\angle C\).

Центр описанной окружности лежит на высоте \(BH\). Для остроугольного треугольника это возможно только при центральном угле \(AOC=120^\circ\), поэтому вписанный угол \(ABC\), опирающийся на хорду \(AC\), равен половине дуги \(AC\): \(\angle ABC=\frac12\cdot120^\circ=60^\circ\).

Ответ: \(\angle ABC=60^\circ\).