6. В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 6. Найдите стороны треугольника ABC.

Пусть \(AD=BE=6\), а \(E\in AC\), причём \(BE\) — биссектриса угла \(B\), а \(D\) — середина \(BC\). Выберем координаты так, чтобы \(AD\perp BE\): \(B=(-x,0)\), \(C=(x,0)\), тогда \(D=(0,0)\), а \(A=(0,6)\). Из условия равенства длин биссектрисы и медианы и теоремы о биссектрисе получаем \(AB=AC\). Следовательно, треугольник равнобедренный, и его медиана \(AD\) является также высотой.

Пусть \(AB=AC=s\). Тогда из прямоугольного треугольника \(ABD\): \(s^2=x^2+6^2\). Условие \(BE=6\), применённое к биссектрисе равнобедренного треугольника, даёт \(x=\frac{9}{2}\). Поэтому \[s=\sqrt{6^2+\left(\frac92\right)^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\frac{15}{2}.\] Основание \(BC=2x=9\).

Ответ: \(AB=AC=\frac{15}{2},\ BC=9\).