1. В параллелограмме одна из сторон равна 14 м, а диагонали равны 12 м и 20 м. Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями.

Обозначим стороны параллелограмма через 14 м и x м, а диагонали — через 12 м и 20 м.

Для параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон:

\(12^2+20^2=2(14^2+x^2)\).

Отсюда \(544=392+2x^2\), поэтому \(x^2=76\), то есть формально \(x=2\sqrt{19}\) м.

Однако диагонали должны удовлетворять неравенству \(d_1+d_2>2a\), поскольку они являются диагоналями невырожденного параллелограмма. Здесь \(12+20=32<28\) не выполняется? Нет: для стороны 14 это неравенство выполняется, поэтому проверим применимость по разностям: \(|20-12|=8<28\), также выполняется. Но формула суммы квадратов даёт \(x^2=76\) только при правильном подсчёте: \(12^2+20^2=544\), \(2\cdot14^2=392\), следовательно \(2x^2=152\) и \(x^2=76\).

Для косинуса угла \(\varphi\) между диагоналями используем \((\vec a+\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=a^2-b^2\). Получаем \(\cos\varphi=(14^2-(2\sqrt{19})^2)/(12\cdot20)=120/240=1/2\).

Ответ: неизвестная сторона равна \(2\sqrt{19}\) м, косинус угла между диагоналями равен \(\frac12\).