4. В △ABC сторона AC = 5√3 см, ∠BAC = 30°, длина медианы CM равна √39 см. Найдите сторону AB △ABC, зная, что ее длина менее 8 см.

Обозначим \(AB=c\), а \(AC=b=5\sqrt3\). По теореме косинусов:

\(BC^2=b^2+c^2-2bc\cos30^\circ=75+c^2-15c\).

Формула медианы к стороне \(AB\): \(CM^2=\frac{2BC^2+2AC^2-AB^2}{4}\).

Подставим данные:

\(39=\frac{2(75+c^2-15c)+150-c^2}{4}\), поэтому \(156=300+c^2-30c\).

Получаем уравнение \(c^2-30c+144=0\), то есть \((c-6)(c-24)=0\). Возможны значения 6 см и 24 см, но по условию \(AB<8\) см.

Ответ: \(AB=6\) см.