1. В параллелограмме одна из сторон равна 20 м, а диагонали равны 32 м и 40 м. Найдите неизвестную сторону параллелограмма и косинус угла между диагоналями.

Обозначим неизвестную сторону через b. По закону параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов сторон:

\(32^2+40^2=2(20^2+b^2)\).

Отсюда \(b^2=912\), поэтому \(b=4\sqrt{57}\) м.

Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярно делятся пополам. Векторы половин диагоналей можно представить как \(\vec a+\vec b\) и \(\vec a-\vec b\); их скалярное произведение равно \(20^2-b^2=-512\). Для острого угла между диагоналями берём модуль скалярного произведения:

\(\cos\varphi=\dfrac{|{-512}|}{32\cdot40}=\dfrac25\).

Ответ: \(4\sqrt{57}\) м; \(\cos\varphi=\dfrac25\) (для острого угла между диагоналями).