1. В правильной четырехугольной призме боковое ребро равно 4√2 см. Диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь основания и диагональ призмы.

Решение:

Пусть боковое ребро призмы равно \( l = 4\sqrt{2} \) см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен \( \alpha = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром, диагональю основания и диагональю призмы:

\( \tan \alpha = \frac{l}{d_{осн}} \)

\( \tan 45^{\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{d_{осн}} \)

\( 1 = \frac{4\sqrt{2}}{d_{осн}} \) \(\implies\) \( d_{осн} = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь квадрата (основания) через диагональ: \( S_{осн} = \frac{d_{осн}^2}{2} = \frac{(4\sqrt{2})^2}{2} = \frac{16 \cdot 2}{2} = 16 \) см².

Диагональ призмы \( D \) можно найти по теореме Пифагора:

\[ D^2 = d_{осн}^2 + l^2 \]

\[ D^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 32 + 32 = 64 \]

\[ D = \(\sqrt{64}\) = 8 \) см.

Ответ: Площадь основания равна 16 см², диагональ призмы равна 8 см.