4. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости (АСС1).

Решение:

Построим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Отметим точку М на ребре AB.

Нам нужно построить сечение плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости (АСС₁).

Плоскость (АСС₁) содержит диагональ AC и боковое ребро AA₁ (или CC₁).

Так как искомая плоскость параллельна (АСС₁), то она будет содержать прямую, проходящую через М и параллельную AC.

1. Через точку М проведём прямую, параллельную AC. Пусть она пересекает ребро BC в точке N. Тогда MN || AC.
2. Так как MN || AC, а плоскость сечения параллельна плоскости (АСС₁), то прямая MN будет параллельна плоскости (АСС₁).
3. Рассмотрим грань ABB₁A₁. Через точку M проведём прямую, параллельную AA₁. Пусть она пересекает A₁B₁ в точке P. Тогда MP || AA₁.
4. Рассмотрим грань BCC₁B₁. Через точку N проведём прямую, параллельную CC₁. Пусть она пересекает B₁C₁ в точке Q. Тогда NQ || CC₁.
5. Соединив точки M, N, Q, P, мы получим искомое сечение MNQP.

Построение:

Построение:

1. Через точку M проведём прямую, параллельную AC. Она пересечёт BC в точке N.
2. Через точку M проведём прямую, параллельную AA₁. Она пересечёт A₁B₁ в точке P.
3. Через точку N проведём прямую, параллельную CC₁. Она пересечёт B₁C₁ в точке Q.
4. Соединим точки M, N, Q, P. Полученный четырёхугольник MNQP является искомым сечением.

Обоснование:

Плоскость MNQP содержит прямую MN, параллельную AC (по построению), а значит, параллельную плоскости ACC₁. Плоскость MNQP также содержит прямую MP, параллельную AA₁ (по построению), а AA₁ параллельна CC₁ и лежит в плоскости ACC₁. Таким образом, плоскость MNQP параллельна плоскости ACC₁.

Ответ: Построено сечение MNQP.